Logaritma 2015

Mari kita tinjau soal berikut ini.

Jika $3^x=2^{2015}$ dan $2^{2015y}=81$, tentukan nilai dari $xy$.

Sekarang mari kita urai sebagai

\begin{align}
3^x &= 2^{2015}\\
2^{2015y} &= 81
\end{align}

Tampak bahwa masing-masing persamaan memuat satu variabel sedangkan yang ditanyakan adalah hasil kali dari kedua variabel tersebut, maka untuk ini lebih dulu kita gunakan definisi logaritma.

Dari (1) kita peroleh \[x={}^3\log 2^{2015}\]

Dari (2) kita peroleh

\begin{align*}
2015y &={} ^2\log 81\\
y &= \frac{{}^2\log 81}{2015}
\end{align*}

Hasil kalinya akan diperoleh dengan menerapkan dua sifat logaritma, kemudian kembali ke penggunaan definisi logaritma.

\begin{align*}
xy &={} ^3\log 2^{2015}\cdot\frac{{}^2\log 81}{2015}\\
&= 2015\cdot ^3\log 2\cdot\frac{{}^2\log 81}{2015}\\
&= {}^3\log 2\cdot{}^2\log 81\\
&= {}^3\log 81\\
&= 4
\end{align*}
$\blacksquare$ Adjie Gumarang Pujakelana 2015