Deret Kuadrat Sinus

Soal

Siapa pun yang menyukai Matematika pasti sering merasakan kenikmatan yang tidak mungkin ditemukan oleh orang lain yang tidak begitu menyukainya. Kenikmatan itu diperoleh ketika mampu menemukan penyelesaian dari suatu masalah (soal) dan di dalam algoritmenya ditemukan keterkaitan antarberagam konsep dan prinsip dalam Matematika. Nah, hal tersebut akan Anda rasakan dalam menyelesaikan soal yang bersumber dari brilliant.org berikut ini.

\[\sin^21^\circ+\sin^22^\circ+\sin^23^\circ+\cdots+\sin^2360^\circ=\ldots.\]

Jawaban 

Mari kita misalan $S=\sin^21^\circ+\sin^22^\circ+\sin^23^\circ+\cdots+\sin^2360^\circ$, maka kita peroleh

\begin{align*}
S &= \sum_{k=1}^{360}\sin^2k^\circ &&\\
&= \sum_{k=1}^{360}\frac{1}{2}\left(1-\cos2k^\circ\right) && \textrm{berdasarkan}\ \cos2k^\circ=1-2\sin^2k^\circ\\
&= \frac{1}{2}\bigg(\sum_{k=1}^{360}1-\sum_{k=1}^{360}\cos2k^\circ\bigg)\\
&= \frac{1}{2}\bigg(360-\sum_{k=1}^{360}\cos2k^\circ\bigg)\\
&= 180-\frac{1}{2}\sum_{k=1}^{360}\cos2k^\circ
\end{align*}

Lalu, berapakah nilai dari $\displaystyle\sum_{k=1}^{360}\cos2k^\circ$?

Mari kita selidiki untuk sudut-sudut pada kuadran I dan II, yaitu $k=1$ sampai dengan $k=90$.

                     $\displaystyle\cos2^\circ+\cos4^\circ+\dots+\cos86^\circ+\cos88^\circ+\cos90^\circ+$

$\displaystyle\cos180^\circ+\cos178^\circ+\cos176^\circ+\dots+\cos94^\circ+\cos92^\circ$

Perhatikan nilai kosinus dari tiap pasang sudut berpelurus berikut ini. 

\begin{align*}
\cos178^\circ &= -\cos2^\circ\\
\cos176^\circ &= -\cos4^\circ\\
&\vdots\\
\cos94^\circ &= -\cos86^\circ\\
\cos92^\circ &= -\cos88^\circ
\end{align*}

Sehingga kita peroleh  
$\small\displaystyle\cos2^\circ+\cos4^\circ+\dots+\cos88^\circ+\cos90^\circ+\cos92^\circ+\dots+\cos178^\circ+\cos180^\circ=0+(-1)=-1$.

Berikutnya kita selidiki untuk sudut-sudut pada kuadran I dan II, yaitu $k=91$ sampai dengan $k=180$.

                     $\displaystyle\cos182^\circ+\cos184^\circ+\dots+\cos266^\circ+\cos268^\circ+\cos270^\circ+$
$\displaystyle\cos360^\circ+\cos358^\circ+\cos356^\circ+\dots+\cos274^\circ+\cos272^\circ$

Perhatikan nilai kosinus dari tiap pasang sudut berpelurus berikut ini. 

\begin{align*}
\cos182^\circ &= -\cos358^\circ\\
\cos176^\circ &= -\cos356^\circ\\
&\vdots\\
\cos266^\circ &= -\cos274^\circ\\
\cos268^\circ &= -\cos272^\circ
\end{align*}

Sehingga kita peroleh  
$\small\displaystyle\cos182^\circ+\cos184^\circ+\dots+\cos268^\circ+\cos270^\circ+\cos272^\circ+\dots+\cos358^\circ+\cos360^\circ=0+1=1$.

Dengan demikian diperoleh $\displaystyle\sum_{k=1}^{360}\cos2k^\circ=-1+1=0$.

Karena fungsi kosinus periodik untuk $0\le k\le 360$, maka berakibat $\displaystyle\sum_{k=1}^{360}\cos2k^\circ=0$.

$\therefore\: \displaystyle\mathbf{S=\sin^21^\circ+\sin^22^\circ+\sin^23^\circ+\cdots+\sin^2360^\circ=180-0=180}\qquad\blacksquare$

Demikian semoga bermanfaat.

$\square$ Adjie Gumarang Pujakelana 2015